Explicación de las fórmulas que rigen el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado y su proceso de deducción

El universo tal como el ser humano lo conoce se basa en diversas leyes físicas, estas leyes frecuentemente se expresan usando el lenguaje matemático con el cual se puede modelar con precisión los fenómenos que ocurren en el universo, uno de estos fenómenos que suelen ser estudiados es el movimiento, el estudio del movimiento es uno de los temas centrales de la física. La rama de la física que se centra en el estudio del movimiento de los objetos es la mecánica, según Resnick, Halliday y Krane (1993), la mecánica se define como:

“El estudio del movimiento de los objetos. El cálculo de la trayectoria de una bola de béisbol o de una sonda espacial enviada a Marte figuran entre los problemas de los que se ocupa, así como el análisis de la trayectoria de las partículas elementales que se forman en las colisiones en nuestros grandes aceleradores. Cuando describimos el movimiento, estamos tratando la parte de la mecánica llamada cinemática.”

El movimiento de una partícula puede describirse mediante ecuaciones matemáticas precisas dependiendo del caso que se trate, por ejemplo para el movimiento unidimensional existen diversas fórmulas que lo estudian, cuando el movimiento se produce a una velocidad constante la distancia recorrida por la partícula en el tiempo viene dada por la siguiente expresión:

Este caso es relativamente simple, sin embargo, en el caso de que alguna fuerza imprima una aceleración constante a la partícula se trataría de un movimiento unidimensional acelerado (también llamado Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado) en el cual la velocidad va cambiando en el tiempo según la siguiente expresión

En base a estas fórmulas se pueden desarrollar las otras expresiones que describen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, por ejemplo teniendo en cuenta que V₀ es la velocidad inicial y V_f es la velocidad final de la partícula debe existir una velocidad promedio de la partícula (V_m) durante todo el recorrido que realiza, debido a que la aceleración es constante esta velocidad promedio viene dada por

Teniendo en cuenta esta velocidad promedio y que la aceleración es constante se puede concluir que la distancia que recorre la partícula es igual al producto de la velocidad promedio por el tiempo que dura el recorrido

La expresión anterior es la fórmula que permite calcular la distancia en función de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo, ahora surge la pregunta ¿Cómo calcular el tiempo que tarda una partícula en recorrer cierta distancia con una velocidad inicial y aceleración dadas?, básicamente se trata de despejar el tiempo(t) en la fórmula anterior

La cual es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es el tiempo, aplicando la fórmula de resolución de la ecuación general de segundo grado

Se obtiene

Esta función permite calcular el tiempo en que la partícula recorre la distancia X, se demuestra fácilmente que asumiendo una distancia X positiva y una aceleración positiva (la partícula está acelerando) la expresión anterior siempre tiene una solución positiva y válida.

Para valores positivos de la distancia, velocidad inicial y aceleración se cumple que

Debido a esto las raíces cuadradas positivas mantienen la misma relación

Es decir

Por ser la aceleración(a) positiva se cumple que

Es decir

Con lo cual se demuestra la existencia de un valor de tiempo válido lo que concuerda con el hecho de que una partícula que está acelerando constantemente debe alcanzar una distancia X en algún instante de tiempo.

Ejemplo

Un automóvil recorre una carretera horizontal de 1 Km de largo con una velocidad inicial de 10 m/s y una aceleración de 1 m/s² ,¿Cuánto tiempo tardará en llegar al final de la carretera?

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Para resolver este problema se aplica la fórmula obtenida anteriormente para calcular el tiempo, por razones de comodidad se omiten las unidades en los cálculos aunque se debe recordar que las unidades básicas usadas son el metro y el segundo

La segunda solución se descarta debido a que el valor del tiempo no puede ser negativo, por lo tanto el automóvil recorrerá la carretera en 35,83 segundos.

Si bien el movimiento unidimensional es relativamente sencillo de entender, es sumamente importante pues es la base para comprender las nociones teóricas que rigen lo demás tipos de movimientos (movimiento bidimensional, lanzamiento de proyectiles, caída libre, movimiento armónico simple, entre otros).

Referencias Bibliográficas

-> Física (1993) Resnick, Halliday y Krane 3ra edición Compañía Editorial Continental México Volumen 1 pág. 17.