Ya vimos en los casos anteriores que sólo trabajamos con una variable, el radio, cuyos resultados pueden ser lineales o de grado 1, como es el caso del cálculo del Perímetro = 2πr o longitud de esa línea llamada circunferencia, que puede estar en cualquier unidad de longitud y por conveniencia usaré centímetros (cm). En el caso del área, trabajamos en 2D o funciones de grado 2, pero también con 1 o 2 variables, en el caso de la moneda la variable es cuadrática, r², por lo que las unidades de superficies las indicaré como cm²

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Como la base de un cilindro se asemeja o compara con una moneda, pues ya hemos determinado que el área de la base es: A_base = πr² y como se trata de un cuerpo cilíndrico, debemos considerar su altura dada por "h". De esta manera, el volumen de un cilindro está dado por: V_c = πr²h, como se indica en la imagen anterior. Hasta aquí, nada nuevo, sólo una secuencia de términos geométricos y analíticos de algunas figuras geométricas que nos servirán para demostrar las variaciones infinitesimales de 1 o más variables en una función derivable, lo que aportaría mayor información que un simple cálculo algebraico, pues el análisis de las tendencias de la variable "radio" o la variable "altura" darán pie a la interpretación analítica relacionada con la relación de cambio del parámetro "volumen" con respecto a las variables "r" y "h".

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Es interesante detallar que las funciones f(r,h) y n(r,5), interpretan el análisis de la misma cantidad escalar Volumen, teniendo diferente imagen para distintos valores de los parámetros de entrada. Nosotros decidimos si realizamos el estudio con 1 o 2 variables según el nivel de detalle y precisión del "fenómeno" que analizamos. Veamos en qué nos afecta el cálculo diferencial y la información que podamos obtener de su interpretación analítica.

Como era de esperarse, a medida que se incrementan tanto "r" como "h", el volumen aumenta en una forma no lineal sino cuadrática debido al término "r²", y vemos una media parábola en la figura anterior. Ahora, para hacerlo de la manera más simple, pero más "inteligible" en lo posible, usaré el valor h = 5 cm para continuar con el análisis de tendencias hacia el límite de la función.

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Derivada de la función "Volumen"

, es una función escalar de una sola variable "r", por lo que aplicando la regla de la derivación con el exponente 2 en "r²", resulta: