Demostración experimental del principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal (PCCML) y angular (PCCMA) (Péndulo balístico)

¡Hola amigos de Steemit!

Reciban un cordial saludo.

En esta entrega compartiré con ustedes un análisis teórico y experimental de uno de los principios de conservación cuya aplicación ha permitido el análisis y solución de una gran cantidad de sistemas físicos, en los que los principios de conservación de la energía no son validos o suficientes para la obtención de los parámetros físicos que caracterizan dichos sistemas.

Se trata de nada más y nada menos que del “Principio de conservación de la cantidad de movimiento”.

Este principio, tanto en el caso lineal (PCCML) como en el angular (PCCMA), ha demostrado ser una herramienta valiosa en la descripción de una gran variedad de fenómenos mecánicos, electromagnéticos y de naturaleza cuántica, y cuya validez no se ve restringida por sistemas no conservativos.

Dada la importancia de estos principios, realizaré en este trabajo un desarrollo teórico y experimental donde se demostrará la validez y aplicación de dichos principios, con el fin de fortalecer nuestros conocimientos en áreas de vital interés para la descripción de un sistema.

En nuestro desarrollo experimental utilizaremos como sistema un péndulo balístico, como el que se ilustra en la figura 1, donde obtendremos la velocidad del proyectil (esfera de metal) bajo los principios de conservación PCCML y PCCMA, la cual será verificada con equipos de medición de alta precisión.

representacion grafica de la dinamica del pendulo balistico.gif

^{Figura 1 – Representación grafica de la dinámica del péndulo balístico utilizado

(Gif elaborado por @lorenzor en PowerPoint y PhotoScape)}

Fundamentos teóricos

En muchos casos la segunda ley de Newton es expresada según lo muestra la ecuación (1), para el caso donde la masa se mantiene contante:

Sin embargo, existen una gran variedad de casos donde la masa no preserva su valor, por lo que es necesario escribir en forma general la segunda Ley de Newton según lo expresa la siguiente ecuación:

Donde el término "" dado por la expresión (3):

es conocido como la cantidad de movimiento lineal (momento lineal) de un objeto.

m → masa del objeto
→ Velocidad del objeto

Para un sistema constituido por “n” partículas la expresión (3) se generaliza de la forma:

Para un sistema sometido a un conjunto de fuerzas, la ecuación (2) es escrita como:

Donde

representa La fuerza total externa que actúa sobre el sistema y

es el momento lineal total.

En la expresión (5) se observa que:

La expresión (6) nos indica que el momento lineal del sistema permanece invariante siempre que la contribución de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sea nula.

Para sistemas en rotación es necesaria la inclusión del concepto de momento de Fuerza (torque) definido por la expresión (7), el cual es utilizado en los casos donde la aplicación de una fuerza

o un conjunto de ellas, da origen a una rotación, lo que hace necesario la incorporación de una cantidad de movimiento de tipo angular.

De forma análoga a la ecuación (5), en el caso rotacional se tiene una expresión que asocia el cambio temporal de la cantidad de movimiento angular

con el momento de fuerza total

que actúa sobre el sistema, dado por la siguiente expresión:

Donde

representa la cantidad de movimiento angular (momento angular) y esta dado por el producto vectorial que se muestra a continuación:

En magnitud la expresión (9) toma la forma:

α → ángulo entre p y r
r → distancia entre el eje de rotación y centro de masa del objeto

En la ecuación (8) se observa que:

Bajo la condición planteada se tiene que la cantidad de movimiento angular permanece invariante.

Parte experimental

Materiales y equipos utilizados

^{Figura 2 – Materiales y equipos utilizados

(Fotografía tomada en el laboratorio por @lorenzor)}

Metodología

En las siguientes imágenes se muestra el montaje del equipo utilizado y el análisis de la dinámica del movimiento lineal y rotacional del sistema.

^{Figura 3 – Montaje real del péndulo balístico utilizado en el laboratorio

(Fotografía tomada en el laboratorio por @lorenzor y editada en PowerPoint)}

^{Figura 4 – Análisis dinámico y geométrico del péndulo balístico después del impacto

(Elaborado por @lorenzor en PowerPoint)}

La metodología utilizada, según se aprecia en la figura 3, consiste en disparar una esfera metálica con el lanzador (projectile launcer), la cual impactara con el péndulo (choque inelástico), desplazándolo hasta un punto máximo registrado por el equipo.

Nuestro objetivo consistirá, con la data obtenida, en determinar la velocidad del proyectil (esfera metálica) a partir de los principios de conservación PCCML y PCCMA, la cual será verificada experimentalmente con el uso de sensores de alta precisión.

Método 1: (PCCML)

En nuestro primer análisis obtendremos la velocidad de la esfera de metal usando el principio de conservación (PCCML), considerando que la masa del sistema (esfera de metal-bloque de captura) está ubicada en el centro de masa (CM) de dicho sistema.

La Cantidad de movimiento de la esfera antes del impacto:

m_e → masa de la esfera de metal
→ Velocidad de la esfera

En magnitud:

En el impacto, el nuevo sistema que forma la esfera de metal y el bloque de captura adquieren una energía cinética

la cual está definida a partir de la siguiente expresión:

Donde:

M_p → masa del péndulo

La expresión (14) puede reescribirse de la forma:

En la ecuación (16) se observa que el término "MV" representa la cantidad de movimiento "p" que adquiere el sistema esfera-bloque de captura.

Esto nos permite obtener el valor de "p" luego del impacto como una función de la energía cinética adquirida, según se muestra a continuación:

Despejando "p" se obtine:

Aplicando el principio de conservación PCCML:

Se obtiene:

Según la conservación de la energía, en el punto de impacto, la energía cuya naturaleza es totalmente cinética se transforma a potencial en el punto máximo alcanzado por el péndulo.

g → aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²
h_CM → Altura máxima del centro de masa (m)

De la geometría visualizada en la figura 4 se tiene que:

Sustituyendo (22) en (20):

Valores obtenidos en el laboratorio

En la siguiente imagen se muestra la posición del centro de masa del péndulo. Para este fin se utilizo una cuerda de suspensión que fue desplazada hasta ubicar el punto de equilibrio.

^{Figura 5 – Ubicación experimental del centro de masa del péndulo

(Fotografía tomada en el laboratorio por @lorenzor)}

Cálculos y resultados

De la ecuación (24) se obtiene que la velocidad de la esfera de metal está dada por el siguiente valor:

Metodo2: (PCCMA)

La velocidad de la esfera de metal puede obtenerse de manera más precisa a partir del principio de conservación PCMA incorporando en el análisis la inercia rotacional del sistema.

Antes del impacto, la cantidad de movimiento angular de la esfera de metal esta dado por la expresión:

r_e → distancia entre el eje de rotación y centro de masa de la esfera
α → angulo entre p y r_e = 90°
p → m_e V_e

Después del impacto, el momento angular puede asociarse de forma similar que en el método anterior con la energía cinética rotacional a partir de la siguiente expresión:

I → Momento de Inercia [Kg.m² ]

Despejando "L" de (26) se obtiene:

Según el principio de conservación de PCCMA:

Se obtiene:

Donde:

Sustituyendo (30) en (29) obtenemos:

El momento de inercia del péndulo físico (compuesto) es obtenido a partir del análisis de su dinámica rotacional, del que se obtiene la siguiente expresión:

Sustituyendo (33) en (32) obtenemos:

El periodo de oscilación es obtenido haciendo oscilar el péndulo desde su máximo desplazamiento angular, según se muestra en la siguiente imagen:

^{Figura 6 – Determinación experimental del periodo de oscilación del péndulo

(Fotografía tomada en el laboratorio por @lorenzor)}

Valores obtenidos en las mediciones

Cálculos y resultados obtenidos

De la ecuación (34) se obtiene que la velocidad de la esfera de metal según el principio de conservación PCCMA, tiene un valor de:

Método de verificación experimental de la velocidad de la esfera de metal

Los valores de velocidad obtenidos por el método 1 (PCCML) y el método 2 (PCCMA) son verificados experimentalmente por el método de las dos fotosceldas utilizado en mi artículo movimiento parabólico.

En el experimento 2 de ese artículo se obtuvo la velocidad de salida de la esfera plástica (amarilla) utilizando dos fotoceldas conectadas al smart-time (medidor de tiempo), el cual arroja el valor del tiempo de transito de la esfera entre dichas fotoceldas separadas 10 cm.

En esta oportunidad siguiendo el mismo procedimiento (ver figura 7), se obtiene la velocidad de salida de la esfera de metal utilizada en este trabajo.

^{Figura 7 – Determinación experimental de la velocidad de la esfera de metal antes del impacto

(Fotografía tomada en el laboratorio por @lorenzor)}

Valores obtenidos en las mediciones

(Separación entre los dos sensores)

(tiempo de transito entre los sensores)

Velocidad de la esfera de metal

Error porcentual del Método 1 (PCCML) respecto al equipo de medición:

Error porcentual del Método 2 (PCCMA) respecto al equipo de medición:

De los resultados obtenidos podemos apreciar que las velocidades calculadas bajo los principios de conservación PCCML y PCCMA coinciden con una alta precisión con el arrojado por el instrumento de medición, validando de esta forma los principios de conservación a los cuales responde la cantidad de movimiento lineal o angular de un sistema.

La validez y aplicación de estos principios de conservación han contribuido con la solución de una gran variedad de sistemas y han sido el punto de partida en el estudio de colisiones de objetos y partículas, los cuales han conducido a resultados y formulaciones cuya obtención no habría sido posible sin el uso de estas leyes de conservación.

Espero que el análisis teórico y experimental desarrollado en este trabajo permita fortalecer tus conocimientos sobre las leyes de conservación inherentes a la cantidad de movimiento lineal y angular de un cuerpo. Si tienes alguna duda, pregunta o sugerencia, deja tus comentario y con mucho gusto te responderé.

Gracias por leer mi publicación.

Referencias

Física para Ciencias e Ingeniería. Fishbane, Gasiorowicz, Thornton. Volumen I. Prentice Hall.
Física para la Ciencia y la Tecnología. Tipler Mosca. Volumen 1: Mecánica. Oscilaciones y ondas. Termodinámica. 5a edición. Editorial Reverté.
Física para Ciencias e Ingeniería. Raymond A. Serway, Robert J. Beichner. 5a edición. Tomo I. McGraw-Hill.
Física Universitaria. Sears Zemansky, Young Freedman. 9na edición. Volumen 1. Addison Wesley Longman.

Demostración experimental del principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal (PCCML) y angular (PCCMA) (Péndulo balístico)

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Fundamentos teóricos

Parte experimental

Materiales y equipos utilizados

Metodología

Método 1: (PCCML)

Valores obtenidos en el laboratorio

Cálculos y resultados

Metodo2: (PCCMA)

Valores obtenidos en las mediciones

Cálculos y resultados obtenidos

Método de verificación experimental de la velocidad de la esfera de metal

Valores obtenidos en las mediciones

Velocidad de la esfera de metal

Error porcentual del Método 1 (PCCML) respecto al equipo de medición:

Error porcentual del Método 2 (PCCMA) respecto al equipo de medición:

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