Uno de los puntos importantes que nos dejo como aprendizaje cuando estudiamos el tema de Interpolación Polinomial (1^era, 2^da, y 3^era Parte) es que se debemos evitar interpolaciones polinomiales de alto orden en puntos igualmente espaciados. Esto puede suponer un problema si queremos producir un interpolador preciso en un intervalo grande [a, b]. Una forma de evitar esta dificultad es dividir el intervalo [a, b],

Iniciaremos estudiando la interpolación lineal a trozos, usando puntos de corte fijos y determinados por adaptación. Como las funciones lineales a trozos no tienen una primera derivada continua, y esto crea problemas en ciertas aplicaciones. Los interpolantes de Hermite cúbicos a trozos abordan este problema. En esta configuración, el valor del interpolador y su derivada se especifica en cada punto de corte. Los interpolantes cubículos locales se unen de una manera que fuerza la continuidad de la primera derivada. La continuidad de la segunda derivada se puede obtener mediante una selección cuidadosa de los valores de la primera derivada en los puntos de corte. Así, entramos en el tema de los splines, la cual es una idea muy importante en el área de aproximación e interpolación. Resulta que las splines cúbicos producen una solución más suave para el problema de interpolación.

Interpolación Lineal a Trozos

Supongamos que x(1: n) e y(1: n) son valores dados donde a = x₁ < x₂ < . . .< x_n = b y y_i = f(x_i), con i = 1: n. Si conectamos los puntos (x₁, y₁), . . . , (x_n, y_n) con líneas rectas, como mostramos en la figura siguiente es la gráfica de una función lineal por partes.

_{Función lineal a trozos, elaboada en GNU Octave, por @abdulmath.}

El interpolador lineal a trozos se basa en los interpolantes lineales locales siguientes

B₁, B₂, . . . , B_{n - 1} puede ser fácilmente calculadas por un bucle de la forma siguiente


o mediante el uso de división puntual,


o usando la función diff de la forma siguiente:


Usando algunas de estas operaciones podemos construir la siguiente función


_{Script de una Función de interpolación lineal a trozos, elaborada en GNU Octave, por @abdulmath.}

Así, el siguiente script

establece un interpolador lineal por partes de la función


en una partición uniforme de 15 puntos del intervalo [0,1]. La gráfica la podemos ver a continuación.


_{Elaborada con GNU Octave, por @abdulmath.}

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Evaluación

Para evaluar L en un punto z del intervalo [a, b], es necesario determinar el subintervalo que contiene z. En nuestro problema x tiene la propiedad de que x₁ < . . . < x_n y por lo tanto sum(x <= z) es el número de x_i que están a la izquierda de z o igual a z. Resulta que

Un mejor enfoque es explotar la monotonía de x_i y usar la búsqueda binaria. Está es la idea principal.

Supongamos que tenemos índices Izq y Der tal que

_{Script para determinar el índice i para localizar z. Elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}

Aproximadamente log₂(n) son las comparaciones necesarias para localizar el subintervalo apropiado. Si n es grande, entonces esto es mucho más eficiente que el método de sum(x<z), que requiere n comparaciones.

Para z aleatorio, no podemos hacer nada mejor que la búsqueda binaria. Sin embargo, si se va a evaluar L en una sucesión de puntos anotada, entonces podemos mejorar el proceso de ubicación del subintervalo. Por ejemplo, supongamos que queremos gráficar L en [a, b]. Esto requiere el ensamblaje de los valores L(z₁), . . . , L(z_m) en un vector donde m es un número entero generalmente grande y

_{Script de Localización optimizado, elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}

La función Locate hace uso del comando de return. Este termina la ejecución de la función. Es posible reestructurar la función Locate para evitar return pero la lógica resultante sería engorrosa. Como una aplicación de Locate aquí hay una función que produce un vector de L valores:

_{Script de función de aplicación. Elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}

_{Script de aplicación. Elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}

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_{Gráficas obtenidas de la Aplicación. Elaboradas con GNU Octave, por @abdulmath}

Determinación a Priori de los Puntos de Cortes

Consideremos cuántos puntos de corte necesitamos para obtener un interpolador lineal por partes satisfactorio. Si z pertenece al intervalo [x_i, x_{i + 1}], tenemos

_{Script para construir la partición.Elaborado con GNU Octave, por @abdulmath}

Interpolación Lineal a Trozos Adaptativa

Supongamos f no es muy lineal en una pequeña parte de [a, b] y es muy suave en otros lugares. (Comó pudimos observar en las gráficas anteriores.) Esto significa que si usamos pwLStatic para generar la partición, entonces estamos obligados a usar una cota M₂ grande. Se necesitarán muchos subintervalos y f-evaluaciones. Sobre las regiones donde f es suave, la partición será demasiado refinada.

Para resolver este problema, desarrollamos un algoritmo de partición recursivo que encuantra dónde f es "no lineal" y eso agrupa los puntos de cortes en consecuencia. Una definición simplifica la discusión. Decimos que el subintervalo [x_L, x_R] es aceptable si

h_min son positivos, se les conoce como los parámetros de refinamiento (típicamente pequeños).

La primera condición mide la discrepancia entre la línea que conecta (x_L, f(x_L)) y (x_R, f(x_R)) y la función f(x) en el punto medio del intervalo m = (x_L + x_R)/2.

La segunda condición dice que los subintervalos suficientemente pequeños también son aceptables cuando suficientemente pequeño significa menos de la longitud hmin.

Se requiere una definición más antes de que podamos describir el proceso de partición completo. Una partición x₁ < x₂ < . . . < x_n es aceptable si cada subintervalo es aceptable. Tenga en cuenta que si

es una partición aceptable de [x_L, m], y si


es una partición aceptable de [m, x_R], entonces


es una partición aceptable de[x_L, x_R]. Esto establece el escenario para una determinación recursiva de partición aceptable.


_{Función para construcción de la partición recursiva. Elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}
La idea detrás de la función es verificar y ver si el intervalo de entrada es aceptable. Si no lo es, las particiones aceptables se obtienen para los intervalos de la mitad izquierda y derecha. Luego se unen para obtener la partición final aceptable. La distinción entre interpolación lineal a trozos estática y adaptativa se revela mediante el siguiente script

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La función humps es muy no lineal en las proximidades de x = 0.3. La cota de la segunda derivada se aproxima con diferencias y se usa en pwLStatic. En el ejemplo, aproximadamente dos veces se requieren tantas evaluaciones de funciones cuando se toma el enfoque estático.

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido acerca de la Interpolación Polinomial a Trozos usando el entorno GNU Octave | 1era Parte, de igual manera los invito para la 2da Parte de este tema, donde continuaremos mostrando el desarrollo del mismo con los script y aplicaciones. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la programación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

• Demidovich, B. P., and I. A. Maron. Computational Mathematics Mir, Moscow, 1976.
• Björck, Åke. Numerical methods in matrix computations. Vol. 59. Cham: Springer, 2015.
• Burden, Richard L., and J. Douglas Faires. Numerical analysis. Ninth Edition. Cengage Learning. 2011.

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, GNU Octave, , GIMP e Inkscape.

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_{Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.}