Identidad de Euler
Leonard Euler (1707-1783)
Su manera original y elegante de notación matemática ha trascendido hasta nuestros días, ha sido quien más ha influido en el análisis matemático con su acuciosidad, organización, sistematización y elegancia, al presentar aspectos complejos de la matemática, de la manera más simple y precisa.
La llamada "Identidad de Euler", es un caso especial y particular de una fórmula desarrollada por Euler a partir de series de potencias, que no son más que la representación de funciones a partir de sumas infinitas de términos, a la cuales siempre dispensó una particular atención. Su identidad es un poema matemático sencillo, pues posee 5 números emblemáticos en la historia de las matemáticas:
(número de Euler): Un número trascendente que aparece en muchos fenómenos naturales
(número pi): Un número trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro
(número i): Unidad imaginaria, cuyo valor es la raíz cuadrada de -1, y constituye la base de los números complejos
(número 0): Elemento neutro para la suma
(número 1): Elemento neutro para la multiplicación.
[Identidad de Euler](http://instintologico.com/un-pequeno-homenaje-a-euler/)
Euler hizo la deducción de la fórmula que aparece a la derecha, empleando series de potencias a las que era gran aficionado, sin embargo yo particularmente haré primeramente una deducción un tanto más sencilla y fácil de recordar, para luego proceder a hacer de la manera más breve y simple posible la relativamente larga deducción que hizo este gran genio matemático de todos los tiempos.
A la derecha observamos el "Plano Complejo". De manera que el vector
suponiendo el módulo 
)
)
Luego derivo el vector Z respecto al ángulo 
}&space;}{\mathrm{d}&space;\phi&space;}=\frac{\mathrm{d(Cos\phi&space;+iSen\phi&space;)}&space;}{\mathrm{d}&space;\phi&space;})
por tanto la ecuación (a) será:
}&space;}{\mathrm{d}&space;\phi&space;}=-Sen\theta&space;+iCos\phi)
¡ATENCIÓN! Ahora la genialidad consiste en darse cuenta que:
al sustituir en la ecuación (a):
sabiendo que:
Nos queda:
&space;\end{matrix}}&space;}{\mathrm{d}&space;\phi&space;}=i^{2}Sen\phi&space;+iCos\phi)
Sacando factor común i quedará:
&space;\end{matrix}}&space;}{\mathrm{d}&space;\phi&space;}=i(iSen\phi&space;+Cos\phi))
ahora podemos observar que lo que está entre paréntesis es:
=&space;Z)
De manera que sustituyendo:
}&space;}{\mathrm{d}&space;\phi&space;}=i\overrightarrow{Z})
Ordenando variables a ambos términos de la ecuación:
}{&space;\overrightarrow{Z}}=i{\mathrm{d}&space;\phi&space;})
Aplicando la integral a ambos miembros de la ecuación:
Lo que da como resultado al resolver la integral indefinida:
)
Esta es la ecuación de Euler en términos generales:
Ahora para el caso particular de
quedaría al sustituir:
&space;+iSen(\pi))
y sabiendo que:
&space;=-1)
&space;=0)
Así se vería la ecuación particular.
¡Y de acá!
Identidad de Euler
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